Algebra

L’algebra e’ una branca della matematica che tratta lo studio di strutture algebriche, relazione e quantita’.

Il termine algebra (dall’arabo الجبر, al-ğabr che significa unione, connessione o completamento, ma anche aggiustare) deriva dal nome del libro del matematico persiano arabo Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, intitolato Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (Compendio sul Calcolo per Completamento e Bilanciamento), che tratta la risoluzione delle equazioni di primo e di secondo grado.

Algebra elementare
L’algebra puo’ essere introdotta come generalizzazione ed estensione dell’algebra elementare. Quest’ultima, insegnata nelle scuole secondarie, estende a sua volta l’aritmetica tramite l’introduzione di oggetti simbolici, chiamati variabili e denotati con delle lettere dell’alfabeto.

Alle variabili si applicano le usuali operazioni aritmetiche di addizione, differenza, moltiplicazione e divisione. In questo modo vengono introdotti e studiati oggetti come le equazioni ed i polinomi e i metodi di risoluzione per trovarne le radici.

Algebra astratta
L’algebra astratta e’ una estensione dell’algebra elementare, nata nel XIX secolo e sviluppatasi enormemente nel XX secolo. L’algebra astratta definisce e studia le strutture algebriche: insiemi muniti di operazioni che soddisfano determinati assiomi. Questi insiemi estendono gli usuali insiemi numerici, quali i numeri interi o razionali, e le loro ordinarie operazioni di somma o prodotto.
Esempi di strutture algebriche sono i gruppi, gli anelli, i campi e gli spazi vettoriali.

Algebra lineare
L’algebra lineare e’ l’algebra utile a studiare le equazioni lineari. Protagonista dell’algebra lineare e’ lo spazio vettoriale, una struttura che generalizza il piano cartesiano e permette di definire spazi di dimensione arbitraria.
L’algebra lineare e’ di importanza fondamentale in molte discipline scientifiche.

Teoria dei gruppi
Il gruppo e’ una struttura algebrica caratterizzata da una singola operazione binaria che soddisfa alcune proprieta’. Molti insiemi sono gruppi: ad esempio i numeri interi (con l’operazione somma), oppure l’insieme delle simmetrie di un particolare oggetto geometrico.

La teoria dei gruppi studia queste strutture. Fornisce risultati che si applicano in tutta la geometria, e in particolare alla topologia, e allo studio delle simmetrie. Ha anche una forte correlazione con la combinatoria: l’insieme delle permutazioni di un insieme e’ ad esempio un gruppo.

Teoria degli anelli
Un anello e’ una struttura algebrica che arricchisce quella di gruppo, fornendo anche una seconda operazione binaria: le due operazioni binarie devono soddisfare degli assiomi che le rendono simili alle operazioni di somma e prodotto dei numeri interi. Tra gli insiemi che risultano essere degli anelli, troviamo l’insieme dei polinomi o delle matrici (con opportune operazioni di somma e prodotto) e l’insieme Q (numeri razionali).

La teoria degli anelli studia queste strutture. Si applica allo studio delle radici di un polinomio, all’algebra lineare (tramite ad esempio lo studio delle matrici, o di strumenti raffinati quali il polinomio caratteristico e il polinomio minimo), e in un modo piu’ avanzato alla geometria algebrica.

Teoria dei campi
Un campo e’ un anello che deve soddisfare degli assiomi ulteriori, che molte strutture semplici non soddisfano: ad esempio gli interi non sono un campo, mentre i razionali sì.

La teoria dei campi studia queste strutture. I campi sono l’oggetto base necessari per la definizione degli spazi vettoriali e quindi per tutta l’algebra lineare. Sono anche i protagonisti della teoria di Galois.

Altre branche dell’algebra astratta
Oltre alle strutture gia’ descritte, l’algebra ne studia molte altre, tra cui semigruppi, reticoli, moduli, algebre su campo, bialgebre, algebre di Hopf, superalgebre.

L’algebra commutativa studia gli anelli commutativi e le loro applicazioni in geometria algebrica. L’algebra non commutativa, per contro, si occupa degli anelli non commutativi.

La teoria delle rappresentazioni studia le realizzazioni mediante matrici di varie strutture algebriche, in particolare dei gruppi finiti, dei gruppi di Lie e delle algebre di Lie.
L’algebra universale studia le proprieta’ comuni a tutte le strutture algebriche sopra accennate o almeno a estese collezioni di strutture algebriche caratterizzate da proprieta’ dei rispettivi sistemi di assiomi; questo settore dell’algebra ha molti punti in comune con la teoria delle categorie.
L’algebra computazionale studia gli algoritmi per la manipolazione simbolica di oggetti matematici.
L’algebra applicata si occupa delle applicazioni dell’algebra, come quelle riguardanti la crittografia.

Altri usi
La parola algebra viene anche usata come semplificazione dei termini qui usati come sinonimi algebra (struttura) e algebra su campo; inoltre viene usata come sostantivo nei termini che denotano varie strutture algebriche:

algebra di Boole – algebra di Kleene – sigma-algebra – algebra di incidenza – algebra di Lie – algebra di Clifford – algebra di Jordan – algebra di Cayley-Dickson – algebra di Poisson – algebra di Virasoro – algebra di gruppo – algebra di divisione – algebra alternativa – algebra quadratica – algebra di Hopf – algebra di Banach – B* algebra – C* algebra – algebra differenziale – algebra di insiemi

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