I teoremi alla maturità – Permanenza del segno

Il teorema della permanenza del segno è un teorema di analisi matematica molto richiesto all’esame di maturità, soprattutto tra le domande del compito di matematica. Esso vale sia per le successioni che per le funzioni. Vediamo cosa dice.
Nelle ipotesi che una successione converga ad un certo limite a (supponiamolo positivo, ma il discorso è analogo se a è negativo), deve esistere (tesi) un indice naturale per cui accade che, da quel punto in poi, la successione assume sempre valori positivi (o negativi). In formule:
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow +\infty} a_{n} = a > 0 \Longrightarrow \exists \nu \in \mathbb{N} : (n > \nu \rightarrow a_{n} > 0)
\end{equation}

La dimostrazione è molto semplice, basta usare la definizione e scegliere un opportuno epsilon affinché tutto funzioni. Infatti, per definizione di limite si ha che…
\begin{array}{c}
\forall \epsilon > 0 \space \exists \nu \in \mathbb{N} : (n > \nu \rightarrow |a_{n} – a| < \epsilon \\
\overset{ossia}{\Longleftrightarrow} \\
– \epsilon < a_{n} - a < \epsilon \\
\Longleftrightarrow \\
a-\epsilon < a_{n} < a + \epsilon
\end{array}

Posto…
\begin{array}{c}
\epsilon = \frac{a}{2} \Longrightarrow \exists \nu \in \mathbb{N} : (n > \nu \rightarrow a-\frac{a}{2} < a_{n} < a + \frac{a}{2} \\
\Longleftrightarrow \\
0 < \frac{a}{2} < a_{n} < \frac{3}{2}a
\end{array}

Siccome a è positivo, anche la sua metà è positiva, per cui vale la tesi.

Immagine via flickr.com

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