Proprietà dei radicali – 2

Come si fa il prodotto tra radicali?
Abbiamo già visto molte proprietà dei radicali. Mostriamo in questo post le proprietà di cui non avevamo ancora discusso.

Prodotto (o quoziente) di radicali con indice differente. Non è possibile in questo caso fare direttamente la moltiplicazioni tra i radicandi in quanto le potenze relative sono differenti. Bisogna pertanto operare come segue:

  1. fare il minimo comune multiplo tra gli indici delle radici (chiamiamolo m);
  2. dividere m per ogni indice di ogni singola radice e moltiplicare ogni potenza dei radicandi per il risultato ottenuto;
  3. a questo punto tutte le radici hanno lo stesso indice e si può operare una normale moltiplicazione tra radicali.

Vediamo in pratica con un esempio:
\begin{array}{c}
\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{y^{3}} \space \overset{m.c.m.=12}{=} \\
= \sqrt[12]{x^{8}} \cdot \sqrt[12]{y^{9}}= \sqrt[12]{x^{8}y^{9}}
\end{array}

Vediamo ora come si risolvono i radicali doppi. Diciamo innanzitutto che si parla di radicali doppi quando sotto radice (quadrata) vi è una somma o una differenza tra un monomio (o polinomio) ed un’altra radice (quadrata). Pertanto un radicale doppio sarà di questo tipo:
\begin{equation}
\sqrt{a \pm \sqrt{b}}
\end{equation}

Un radicale doppio, se possibile, si risolve nella somma (o differenza) di due radicali semplici. La possibilità sta nel fatto di controllare se
\begin{equation}
(1) \space a^{2}-b = c^{2}
\end{equation}
cioè se la quantità a sinistra dell’uguale è un quadrato perfetto. In tal caso si ha:
\begin{equation}
(2) \space \sqrt{a \pm \sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2}-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a – \sqrt{a^{2}-b}}{2}}
\end{equation}

È facile verificare (elevando entrambi i membri al quadrato) che la quantità a destra dell’uguale coincide con la quantità alla sinistra. Inoltre va precisato che nel caso in cui la (1) non sia un quadrato perfetto è inutile procedere con l’algoritmo (2) poiché si avrebbero due radicali doppi al posto di uno!

IMPORTANTE!!! Ricordiamo in conclusione che quando si porta fuori un termine da una radice di indice pari bisogna ricordare che va considerato il suo valore assoluto! Questo perché il risultato di una radice di indice pari è un numero positivo. In pratica:
\begin{array}{c}
\sqrt{x^{2}}= |x| \\
\sqrt{x^{2}}\ne \pm x
\end{array}

Immagine via commons.wikimedia.org

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